leetcode - 1697 - 检查边长度限制的路径是否存在 - 最小生成树 - 并查集 - 离线算法

LightningBilly · 2020 年12 月 22 日 02:47

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题目描述

https://leetcode-cn.com/problems/checking-existence-of-edge-length-limited-paths/

给你一个 n 个点组成的无向图边集 edgeList ，其中 edgeList[i] = [ui, vi, disi] 表示点 ui 和点 vi 之间有一条长度为 disi 的边。请注意，两个点之间可能有超过一条边。

给你一个查询数组queries ，其中 queries[j] = [pj, qj, limitj] ，你的任务是对于每个查询 queries[j] ，判断是否存在从 pj 到 qj 的路径，且这条路径上的每一条边都严格小于 limitj 。

请你返回一个布尔数组 answer ，其中 answer.length == queries.length ，当 queries[j] 的查询结果为 true 时， answer 第 j 个值为 true ，否则为 false 。

示例 1：

输入：n = 3, edgeList = [[0,1,2],[1,2,4],[2,0,8],[1,0,16]], queries = [[0,1,2],[0,2,5]]
输出：[false,true]
解释：上图为给定的输入数据。注意到 0 和 1 之间有两条重边，分别为 2 和 16 。
对于第一个查询，0 和 1 之间没有小于 2 的边，所以我们返回 false 。
对于第二个查询，有一条路径（0 -> 1 -> 2）两条边都小于 5 ，所以这个查询我们返回 true 。
示例 2：

输入：n = 5, edgeList = [[0,1,10],[1,2,5],[2,3,9],[3,4,13]], queries = [[0,4,14],[1,4,13]]
输出：[true,false]
解释：上图为给定数据。

提示：

2 <= n <= 10^5
1 <= edgeList.length, queries.length <= 10^5
edgeList[i].length == 3
queries[j].length == 3
0 <= ui, vi, pj, qj <= n - 1
ui != vi
pj != qj
1 <= disi, limitj <= 10^9
两个点之间可能有多条边。

题目剖析&信息挖掘

此题为图论题，需要用到最小生成树，离线算法技巧。

解题思路

先看到题目数据规模，查询和树节点都有10^5，如果每个查询单独查询肯定不行，需要批量查询
感觉可能的方案有离线查询，第一个想到的是如果这是一棵树，可以按照最近公共祖先离线算法，可以做到O(n)复杂度。
那么首先要对整个图进行简化，题目要求的是使2点之间通路上的每条边值越小越好。
也就是说2点之间的最优路径是固定的，我们可以对无用边进行删除，只取有用边。
这里想到了最小生成树方法。
最小生成树方法是保证生成整个数时代价最小，那么能不能保证每2点之间边的最大值最小呢（结论1）。
答案是可以的。
假设图中有a,b 两点，我们想知道一下连接a, b两点路径上最大值最小是多少。
可以将边按小到大排序，然后一条一条加入，每次都加入一条边e都检测a,b连通性。如果连通了，说明当前新加入的边就是路径上最大值最小的边。
证明如下：
反证法，如果e不是路径上最大值的最小值。那么肯定存在一种方案利用所有权值<e的边，使得a,b连通。
在最小生成树的前提下，显然是不可能的。
到了这里突然想到了更简单的方法。(方法一)
方法二：先生成最小生成树，再利用公共祖先算法离线查询（待实现）

方法一最小生成树+离线计算

分析

有了上面的结论1的基础。突然想到了一种边生成树边查找的方法。
结论1可以得到另一个结论：在生成树的过程中，如果长度为l的边都加完了，说明目前图中连通的点的路径上最大值就是l。
我们可以找到查询中limit>l的例子进行连通性测试就可以得到结果。
复杂度分析：每条边遍历一次，每个查询例子查询一次，复杂为O(m+q)

思路

const int N = 1e6 + 10;

/*
并查集，判连通用
*/
class UnionSet{
private:
    int father[N];
    int num;
public:
  	// 初始化
    UnionSet(int n)
    {
    }

  	// 查询父结点
    int Find(int x){
        
    }

  //合并结点
    bool Join(int x, int y)
    {
    }

  //判断结点是否连通
    bool IsLink(int x, int y)
    {
    }
};

bool LessVector(vector<vector<int>>& q1, vector<vector<int>>& q2)
{
    return q1[2]<q2[2];
}


class Solution {
public:
    vector<bool> distanceLimitedPathsExist(int n, vector<vector<int>>& edgeList, vector<vector<int>>& queries) {
        // 为querys 加上编号
        for (int i = 0; i < queries.size(); ++i) {
            queries[i].push_back(i);
        }
        sort(edgeList.begin(), edgeList.end(), LessVector);
        sort(queries.begin(), queries.end(), LessVector);
        vector<bool> ans = vector<bool>(queries.size(), false);

        UnionSet us(n+10);

        int curq = 0;
        for (int i = 0; i < edgeList.size(); ++i) {
            us.Join(edgeList[i][0], edgeList[i][1]);

            // 相同的边添加完以后，进行一轮查询，找出limit > 当前边长，且小于等下一轮添加边长的查询。
            if (i==edgeList.size()-1 || edgeList[i+1][2]!=edgeList[i][2])
            {
                int nextWeight = INT32_MAX;
                if(i==edgeList.size()-1) nextWeight = edgeList[i+1][2];
                for (; curq < queries.size() && queries[curq][2]<=nextWeight; ++curq) {
                    if (queries[curq][2]<=edgeList[i][2])continue; // 只查询limit>edgeList[i][2], <=edgeList[i][2] 的在之前已查询过了，或者根本不；连通
                    if(us.IsLink(queries[curq][0], queries[curq][1])) ans[queries[curq][3]] = true;
                }
            }
        }

        return ans;
    }
};

注意

查询要按照limit进行排序
查询要等同样边长都加完再进行

知识点

最小生成树
离线查询
并查集

复杂度

时间复杂度：O(m+q)
空间复杂度：O(n+m+q)

参考

代码实现

const int N = 1e6 + 10;

/*
并查集，判连通用
*/
class UnionSet{
private:
    int father[N];
    int num;
public:

    // 初始化
    UnionSet(int n)
    {
        num = n;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            father[i]=i;
        }
    }

    // 查询父结点
    int Find(int x){
        int s = x;
        while(father[x]!=x)x=father[x];

        /*
         * 缩短路径优化
         */

        while(s!=father[s])
        {
            int temp = father[s];
            father[s]=x;
            s = temp;
        }

        return x;
    }

    //合并结点
    bool Join(int x, int y)
    {
        x = Find(x);
        y = Find(y);
        if (x==y)return false;
        father[x]=y;
        return true;
    }

    //判断结点是否连通
    bool IsLink(int x, int y)
    {
        x = Find(x);
        y = Find(y);
        return x==y;
    }
};

bool LessVector(vector<vector<int>>& q1, vector<vector<int>>& q2)
{
    return q1[2]<q2[2];
}


class Solution {
public:
    vector<bool> distanceLimitedPathsExist(int n, vector<vector<int>>& edgeList, vector<vector<int>>& queries) {
        // 为querys 加上编号
        for (int i = 0; i < queries.size(); ++i) {
            queries[i].push_back(i);
        }
        sort(edgeList.begin(), edgeList.end(), LessVector);
        sort(queries.begin(), queries.end(), LessVector);
        vector<bool> ans = vector<bool>(queries.size(), false);

        UnionSet us(n+10);

        int curq = 0;
        for (int i = 0; i < edgeList.size(); ++i) {
            us.Join(edgeList[i][0], edgeList[i][1]);

            // 相同的边添加完以后，进行一轮查询，找出limit > 当前边长，且小于等下一轮添加边长的查询。
            if (i==edgeList.size()-1 || edgeList[i+1][2]!=edgeList[i][2])
            {
                int nextWeight = INT32_MAX;
                if(i==edgeList.size()-1) nextWeight = edgeList[i+1][2];
                for (; curq < queries.size() && queries[curq][2]<=nextWeight; ++curq) {
                    if (queries[curq][2]<=edgeList[i][2])continue; // 只查询limit>edgeList[i][2], <=edgeList[i][2] 的在之前已查询过了，或者根本不；连通
                    if(us.IsLink(queries[curq][0], queries[curq][1])) ans[queries[curq][3]] = true;
                }
            }
        }

        return ans;
    }
};
/*
5
[[0,1,10],[1,2,5],[2,3,9],[3,4,13]]
[[0,4,14],[1,4,13]]
5
[[0,1,10],[1,2,10],[2,3,10],[3,4,10]]
[[0,4,11],[1,4,11],[0,4,10],[1,4,10]]
5
[[0,1,10],[1,2,10],[2,3,9],[3,4,9]]
[[0,4,11],[1,4,11],[0,4,10],[1,4,10]]
*/