leetcode - 1697 - 检查边长度限制的路径是否存在 - 最小生成树 - 并查集 - 离线算法

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题目描述

[1697] 检查边长度限制的路径是否存在

给你一个 n 个点组成的无向图边集 edgeList ,其中 edgeList[i] = [ui, vi, disi] 表示点 ui 和点 vi 之间有一条长度为 disi 的边。请注意,两个点之间可能有 超过一条边 。

给你一个查询数组queries ,其中 queries[j] = [pj, qj, limitj] ,你的任务是对于每个查询 queries[j] ,判断是否存在从 pj 到 qj 的路径,且这条路径上的每一条边都 严格小于 limitj 。

请你返回一个 布尔数组 answer ,其中 answer.length == queries.length ,当 queries[j] 的查询结果为 true 时, answer 第 j 个值为 true ,否则为 false 。

示例 1:

输入:n = 3, edgeList = [[0,1,2],[1,2,4],[2,0,8],[1,0,16]], queries = [[0,1,2],[0,2,5]]
输出:[false,true]
解释:上图为给定的输入数据。注意到 0 和 1 之间有两条重边,分别为 2 和 16 。
对于第一个查询,0 和 1 之间没有小于 2 的边,所以我们返回 false 。
对于第二个查询,有一条路径(0 -> 1 -> 2)两条边都小于 5 ,所以这个查询我们返回 true 。
示例 2:

输入:n = 5, edgeList = [[0,1,10],[1,2,5],[2,3,9],[3,4,13]], queries = [[0,4,14],[1,4,13]]
输出:[true,false]
解释:上图为给定数据。

提示:

2 <= n <= 10^5
1 <= edgeList.length, queries.length <= 10^5
edgeList[i].length == 3
queries[j].length == 3
0 <= ui, vi, pj, qj <= n - 1
ui != vi
pj != qj
1 <= disi, limitj <= 10^9
两个点之间可能有 多条 边。

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    此题为图论题,需要用到最小生成树,离线算法技巧。

    解题思路

    • 先看到题目数据规模,查询和树节点都有10^5,如果每个查询单独查询肯定不行,需要批量查询
    • 感觉可能的方案有离线查询,第一个想到的是如果这是一棵树,可以按照最近公共祖先离线算法,可以做到O(n)复杂度。
    • 那么首先要对整个图进行简化,题目要求的是使2点之间通路上的每条边值越小越好。
    • 也就是说2点之间的最优路径是固定的,我们可以对无用边进行删除,只取有用边。
    • 这里想到了最小生成树方法。
    • 最小生成树方法是保证生成整个数时代价最小,那么能不能保证每2点之间边的最大值最小呢(结论1)。
    • 答案是可以的。
    • 假设图中有a,b 两点,我们想知道一下连接a, b两点路径上最大值最小是多少。
    • 可以将边按小到大排序,然后一条一条加入,每次都加入一条边e都检测a,b连通性。如果连通了,说明当前新加入的边就是路径上最大值最小的边。
    • 证明如下:
    • 反证法,如果e不是路径上最大值的最小值。那么肯定存在一种方案利用所有权值<e的边,使得a,b连通。
    • 在最小生成树的前提下,显然是不可能的。
    • 到了这里突然想到了更简单的方法。(方法一)
    • 方法二 : 先生成最小生成树,再利用公共祖先算法离线查询(待实现)

    方法一 最小生成树+离线计算

    分析

    • 有了上面的结论1的基础。突然想到了一种边生成树边查找的方法。
    • 结论1可以得到另一个结论:在生成树的过程中,如果长度为l的边都加完了,说明目前图中连通的点的路径上最大值就是l。
    • 我们可以找到查询中limit>l的例子进行连通性测试就可以得到结果。
    • 复杂度分析:每条边遍历一次,每个查询例子查询一次,复杂为O(m+q)

    思路

    const int N = 1e6 + 10;
    
    /*
    并查集,判连通用
    */
    class UnionSet{
    private:
        int father[N];
        int num;
    public:
      	// 初始化
        UnionSet(int n)
        {
        }
    
      	// 查询父结点
        int Find(int x){
            
        }
    
      //合并结点
        bool Join(int x, int y)
        {
        }
    
      //判断结点是否连通
        bool IsLink(int x, int y)
        {
        }
    };
    
    bool LessVector(vector<vector<int>>& q1, vector<vector<int>>& q2)
    {
        return q1[2]<q2[2];
    }
    
    
    class Solution {
    public:
        vector<bool> distanceLimitedPathsExist(int n, vector<vector<int>>& edgeList, vector<vector<int>>& queries) {
            // 为querys 加上编号
            for (int i = 0; i < queries.size(); ++i) {
                queries[i].push_back(i);
            }
            sort(edgeList.begin(), edgeList.end(), LessVector);
            sort(queries.begin(), queries.end(), LessVector);
            vector<bool> ans = vector<bool>(queries.size(), false);
    
            UnionSet us(n+10);
    
            int curq = 0;
            for (int i = 0; i < edgeList.size(); ++i) {
                us.Join(edgeList[i][0], edgeList[i][1]);
    
                // 相同的边添加完以后,进行一轮查询,找出limit > 当前边长,且小于等下一轮添加边长的查询。
                if (i==edgeList.size()-1 || edgeList[i+1][2]!=edgeList[i][2])
                {
                    int nextWeight = INT32_MAX;
                    if(i==edgeList.size()-1) nextWeight = edgeList[i+1][2];
                    for (; curq < queries.size() && queries[curq][2]<=nextWeight; ++curq) {
                        if (queries[curq][2]<=edgeList[i][2])continue; // 只查询limit>edgeList[i][2], <=edgeList[i][2] 的在之前已查询过了,或者根本不;连通
                        if(us.IsLink(queries[curq][0], queries[curq][1])) ans[queries[curq][3]] = true;
                    }
                }
            }
    
            return ans;
        }
    };
    

    注意

    • 查询要按照limit进行排序
    • 查询要等同样边长都加完再进行

    知识点

    • 最小生成树
    • 离线查询
    • 并查集

    复杂度

    • 时间复杂度:O(m+q)
    • 空间复杂度:O(n+m+q)

    参考

    代码实现

    const int N = 1e6 + 10;
    
    /*
    并查集,判连通用
    */
    class UnionSet{
    private:
        int father[N];
        int num;
    public:
    
        // 初始化
        UnionSet(int n)
        {
            num = n;
            for (int i = 0; i < n; ++i) {
                father[i]=i;
            }
        }
    
        // 查询父结点
        int Find(int x){
            int s = x;
            while(father[x]!=x)x=father[x];
    
            /*
             * 缩短路径优化
             */
    
            while(s!=father[s])
            {
                int temp = father[s];
                father[s]=x;
                s = temp;
            }
    
            return x;
        }
    
        //合并结点
        bool Join(int x, int y)
        {
            x = Find(x);
            y = Find(y);
            if (x==y)return false;
            father[x]=y;
            return true;
        }
    
        //判断结点是否连通
        bool IsLink(int x, int y)
        {
            x = Find(x);
            y = Find(y);
            return x==y;
        }
    };
    
    bool LessVector(vector<vector<int>>& q1, vector<vector<int>>& q2)
    {
        return q1[2]<q2[2];
    }
    
    
    class Solution {
    public:
        vector<bool> distanceLimitedPathsExist(int n, vector<vector<int>>& edgeList, vector<vector<int>>& queries) {
            // 为querys 加上编号
            for (int i = 0; i < queries.size(); ++i) {
                queries[i].push_back(i);
            }
            sort(edgeList.begin(), edgeList.end(), LessVector);
            sort(queries.begin(), queries.end(), LessVector);
            vector<bool> ans = vector<bool>(queries.size(), false);
    
            UnionSet us(n+10);
    
            int curq = 0;
            for (int i = 0; i < edgeList.size(); ++i) {
                us.Join(edgeList[i][0], edgeList[i][1]);
    
                // 相同的边添加完以后,进行一轮查询,找出limit > 当前边长,且小于等下一轮添加边长的查询。
                if (i==edgeList.size()-1 || edgeList[i+1][2]!=edgeList[i][2])
                {
                    int nextWeight = INT32_MAX;
                    if(i==edgeList.size()-1) nextWeight = edgeList[i+1][2];
                    for (; curq < queries.size() && queries[curq][2]<=nextWeight; ++curq) {
                        if (queries[curq][2]<=edgeList[i][2])continue; // 只查询limit>edgeList[i][2], <=edgeList[i][2] 的在之前已查询过了,或者根本不;连通
                        if(us.IsLink(queries[curq][0], queries[curq][1])) ans[queries[curq][3]] = true;
                    }
                }
            }
    
            return ans;
        }
    };
    /*
    5
    [[0,1,10],[1,2,5],[2,3,9],[3,4,13]]
    [[0,4,14],[1,4,13]]
    5
    [[0,1,10],[1,2,10],[2,3,10],[3,4,10]]
    [[0,4,11],[1,4,11],[0,4,10],[1,4,10]]
    5
    [[0,1,10],[1,2,10],[2,3,9],[3,4,9]]
    [[0,4,11],[1,4,11],[0,4,10],[1,4,10]]
    */
    
    

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